设直线l：x+y+b＝0x+ay−z−3＝0在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点（1，-2，5），求a，b之值．

Question

设直线l：

x+y+b＝0

x+ay−z−3＝0

在平面π上，而平面π与曲面z=x²+y²相切于点（1，-2，5），求a，b之值．

Answer 1

∵平面π与曲面z=x²+y²相切于点（1，-2，5）
令F（x，y，z）=x²+y²-z，则平面π的法向量

n

＝(F′x，F′y，F′z)|(1，−2，5)＝(2x，2y，−1)|(1，−2，5)＝(2，−4，−1)
∴平面π的方程为：2（x-1）-4（y+2）-（z-5）=0
即
2x-4y-z-5=0
因此过直线l：

x+y+b＝0

x+ay−z−3＝0

的平面束方程为
x+y+b+λ（x+ay-z-3）=0
即  （1+λ）x+（1+aλ）y-λz+b-3λ=0
在这些平面束中，有一个平面与平面π重合，要求
(1+λ)/(2)＝(1+aλ)/(−4)＝(−λ)/(−1)＝(b−3λ)/(−5)
这样就解得
λ=1，a=-5，b=-2