计算曲面积分∫∫S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2（0≤z≤1），其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

Question

计算曲面积分

∫∫

S

(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x²+y²（0≤z≤1），其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

Answer 1

【解法1】
设S₁：

x2+y2≤1

z＝1

，方向与z轴负向．
设D为S₁在xOy上的投影，Ω为S+S₁所围成的区域．
则：
I=

∬

S

(2x+z)dydz+zdxdy
=

∬

S+S1

(2x+z)dydz+zdxdy-

∬

S1

(2x+z)dydz+zdxdy．
利用高斯公式可得：
  

∬

S+S1

(2x+z)dydz+zdxdy
=

∭

Ω

(2+1)dxdydz
=3

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

2 r2

[−(−π)]dz（利用柱面坐标系计算）
=−(3)/(2)π，
而：

∬

S1

(2x+z)dydz+zdxdy=-

∬

D

−dxdy=

∬

D

dxdy=π，
所以：I=−(3)/(2)π+π=−(π)/(2)．

【解法2】
利用矢量投影法，
因为z′_x=2x，z′_y=2y，
所以：
I=

∬

S

(2x+z)dydz+zdxdy
=

∬

S

[(2x+z)•(−z′x)+z]dxdy
=

∬

S

(−4x2−2xz+z)dxdy
=

∬

D

[−4x2−2x(x2+y2)+x2+y2]dxdy
=

∫

2π 0

dθ 

∫

1 0

(−4r2cos2θ−2r3cosθ+r2)rdr
=-(π)/(2)．

【解法3】
利用直接投影法．
曲面S在yOz平面上的投影D_yz对应两个曲面：
一是x＝−√(z−y2)，0≤z≤1，其方向指向前侧，因此积分取正号；
另一个是x＝√(z−y2)，0≤z≤1，方向指向后侧，因此积分取负号．
再记D_xy表示S在xOy平面上的投影区域，则：
I=

∬

S

(2x+z)dydz+zdxdy
=-

∬

Dyz

(2√(z−y2)+z)dydz+

∬

Dyz

(−2√(z−y2)+z)dydz+

∬

Dxy

(x2+y2)dxdy
=-

∬

Dyz

√(z−y2)dydz+

∬

Dxy

(x2+y2)dxdy
=-4

∫

1 −1

dy

∫

1 y2

√(z−y2)dz+

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

r2•rdr
=−(π)/(2)．