e^|z|在半径为1的球心在（0,0,0）球体内的三重积分去掉绝对值我明白,请以上半球为例,给我讲讲积分过程,最好有结果,我感觉是柱坐标,但是结果是2π,我却算不出来,大家有时间就试试~我回头又

Question

e^|z|在半径为1的球心在（0,0,0）球体内的三重积分
去掉绝对值我明白,请以上半球为例,给我讲讲积分过程,最好有结果,我感觉是柱坐标,但是结果是2π,我却算不出来,大家有时间就试试~
我回头又看看书，对于被积函数只有一个变量的时候，可以用截面积的方法~哈哈~是我知识点的疏漏~它的意思是，用给定的Z的一个平面截取积分区域！

Answer 1

你提了一个好问题.这里的被积函数是e^z,它不包含x和y.这个被积函数不因x和y的取值而变化.也就是说,对于某个给定的z,e^z可看着是一个常数.在对dxdy积分时,可将e^z提到x,y积分号的外面.这样可将x和y的积分先做出来.可是对于某个给定的z,在这个球上所截的一个圆面的半径是不同的.这样dxdy的积分区域是一个z的函数.也就是说,x,y的积分区域或积分限与z有关.这样,当你做出x,y的积分后,代入含z的积分限即可.（请注意这里有关被积函数和积分区域的差别.有时容易混淆.由于此题中被积函数不包括x和y,你可以先将被积函数提到x,y的积分号外,并先对x,y积分,然后代入含z的积分限）.在写积分时,积分∫e^zdz∫∫dxdy实际表示是：
=∫∫∫e^zdxdydz=∫e^z(∫∫dxdy)dz
一般为书写上的方便,可写成∫e^zdz∫∫dxdy.将x,y的积分左后,再放到被积函数里.这就是下面的做法.希望这些解释对你有所帮助.
在整个球体上的三重积分等于e^z在这个球体上的积分或2e^z在上半球球体上的积分.下面是对上半球的积分.结果乘2后就得到最后的答案.
e^|z|在半径为1,球心在（0,0,0）的上半球内的三重积分是：
I=∫∫∫e^zdxdydz=∫e^zdz∫∫dxdy
其中：∫∫dxdy的积分域是z某个常数的平面与这个球面的圆形区域,
即x²+y²=1-z².积分∫∫dxdy就是这个圆形区域的面积.其面积就是πx²（或πy²）.代入积分式中后得：
I=(下限0,上限1）∫(πx²e^z)dz
x和z满足的方程是y=0的平面和这个球面所形成的圆,即：
x²+z²=1,或x²=1-z².将积分式中的x²用1-z²取代后得：
I=(下限0,上限1）∫π（1-z²）e^zdz
=(下限0,上限1）π(2ze^z-z²e^z-e^z)
=π[(2e-e-e)-(0-0-1)]=π