已知椭球面x∧2+2Y∧2+z∧2=4上过点M的切面平行于平面4x-8y+4z-5=0求M的坐标..

Question

已知椭球面x∧2+2 Y∧2+z∧2=4上过点M的切面平行于平面4x-8y+4z-5=0 求M的坐标..

Answer 1

已知椭球面x²+2y²+z²=4上过点M的切面平行于平面4x-8y+4z-5=0 求M的坐标.
设F(x,y,z)=x²+2y²+z²-4=0,∂F/∂x=2x；∂F/∂y=4y；∂F/∂z=2z；
设椭球面上的点M的坐标为(m,p,L)；那么过点M的切平面方程为：
2m(x-m)+4p(y-p)+2L(x-L)=0.(1)
切面(1)平行于平面4x-8y+4z-5=0,故它们的法向矢量成比例,即有2m/4=(-8/4p)=4/2L=k
故有等式：
2m=4k,故m=2k；
4p=-8k,故p=-2k；
2L=4k,故L=2k；
M在椭球面上,故其坐标满足椭球面方程,因此有等式：
4k²+8k²+4k²=16k²=4,k²=1/4,故k=±1/2
于是得M点的坐标为(1,-1,1)或(-1,1,-1).