（2013•厦门）已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y=-x+m+n与双曲线y＝1x交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直线y=-x+m+n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围．

Question

（2013•厦门）已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y=-x+m+n与双曲线y＝(1)/(x)交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直线y=-x+m+n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围．

Answer 1

如图，C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，
∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），
∴S=S_△OBC=(1)/(2)（m+n）•n=(1)/(2)mn+(1)/(2)n²，
∵点A（m，n）在双曲线y＝(1)/(x)上，
∴mn=1，即n=(1)/(m)
∴S=(1)/(2)+(1)/(2)（(1)/(m)）²
∵m≥2，
∴0＜(1)/(m)≤(1)/(2)，
∴0＜（(1)/(m)）²≤(1)/(4)，
∴(1)/(2)＜S≤(5)/(8)．