（2013•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解

Question

（2013•潍坊）如图，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，(3)/(2)）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点D（2，(3)/(2)）在抛物线上，
∴(3)/(2)=a×3×（-1），解得a=−(1)/(2)，
∴抛物线解析式为：y=−(1)/(2)（x+1）（x-3）=−(1)/(2)x²+x+(3)/(2)．

（2）抛物线解析式为：y=−(1)/(2)x²+x+(3)/(2)，令x=0，得y=(3)/(2)，∴C（0，(3)/(2)），
∵D（2，(3)/(2)），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=(3)/(2)．
直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=(2)/(k)；令y=(3)/(2)，得x=(7)/(2k)；
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（(2)/(k)，0），F（(7)/(2k)，(3)/(2)），
OE=(2)/(k)，BE=3-(2)/(k)，CF=(7)/(2k)，DF=2-(7)/(2k)．
∵直线l平分四边形OBDC的面积，
∴S_梯形OEFC=S_梯形FDBE，
∴(1)/(2)（OE+CF）•OC=(1)/(2)（FD+BE）•OC，
∴OE+CF=FD+BE，即：(2)/(k)+(7)/(2k)=（3-(2)/(k)）+（2-

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