已知点A(4,0)和圆B:x^2+(y-2)^2=1,若点P在圆B上运动,O是坐标原点,求使S三角形OAP-S三角已知点A(4,0)和圆B:x^2+(y-2)^2=1,若点P在圆B上运动,O是坐标原点,求使S三角形OAP-S三角形OBP取得最小值时点P

Question

已知点A(4,0)和圆B:x^2+(y-2)^2=1 ,若点P 在圆B 上运动,O是坐标原点,求使S三角形OAP-S三角
已知点 A(4,0)和圆 B:x^2+(y-2)^2=1 ,若点P 在圆B 上运动,O是坐标原点,求使S三角形OAP-S三角形OBP 取得最小值时点P 的坐标

Answer 1

已知点 A(4,0)和圆 B:x²+(y-2)²=1 ,若点P 在圆B 上运动,O是坐标原点,求使S△OAP-S△OBP 取得最小值时点P 的坐标
将园B的方程改写成参数形式：x=cost；y=2+sint；t∈R；设P点的坐标为(cost,2＋sint)；
S△OAP=(1/2)×∣OA∣×(2+sint)=(1/2)×4×(2+sint)=2(2+sint)；
S△OBP=(1/2)×∣OB∣×∣cost∣=(1/2)×2×∣cost∣=∣cost∣；
故S△OAP-S△OBP=2(2+sint)-∣cost∣=4+2sint-∣cost∣;
当-π/2≦t≦π/2时0≦cost≦1,故此时S△OAP-S△OBP=4+2sint-cost=4+2[sint-(1/2)cost]
=4+2[sint-tanφcost]=4+(2/cosφ)[sintcosφ-costsinφ]=4+(√5)sin(t-φ)≧4-√5.(1)；
其中tanφ=1/2；cosφ=2/√5；当t-φ=-π/2,即t=φ-π/2=arctan(1/2)-π/2时(1)式的等号成立.
故当S△OAP-S△OBP获得最小值4-√5时P点的坐标为：
横坐标x=cost=cos[arctan(1/2)-π/2]=cos[π/2-arctan(1/2)]=sin[arctan(1/2)]=1/√5=√5/5；
纵坐标y=2+sin[arctan(1/2)-π/2]=2-sin[π/2-arctan(1/2)]=2-cos[arctan(1/2)]=2-2/√5=(2/5)(5-√5)
当π/2≦t≦3π/2时-1≦cost≦0,故此时S△OAP-S△OBP=4+2sint+cost=4+2[sint+(1/2)cost]
=4+2[sint+tanφcost]=4+(2/cosφ)[sintcosφ+costsinφ]=4+(√5)sin(t+φ)≧4-√5.(2)
当t+φ=π,即t=-φ+π=π-arctan(1/2)时(2)式的等号成立.
故当S△OAP-S△OBP获得最小值4-√5时P点的坐标为：
横坐标x=cost=cos[π-arctan(1/2)]=-cos[arctan(1/2)]=-1/√5=-√5/5；
纵坐标y=2+sin[π-arctan(1/2)]=2+sin[arctan(1/2)]=2+2/√5=(2/5)(5+√5)；
结论：当P点坐标为(√5/5,(2/5)(5-√5))或(-√5/5,(2/5)(5+√5))时S△OAP-S△OBP获得最小
值4-√5.