过椭圆焦点S的一条直线与椭圆交于P.Q两点,P和Q的切线交于一点R,证明R在椭圆的准线上

Question

过椭圆焦点S的一条直线与椭圆交于P.Q两点,P和Q的切线交于一点R,证明R在椭圆的准线上

Answer 1

证明：设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
设P(x1,y1)
Q(x2,y2)
那么过P,Q点的切线方程可以表示为：
x1x/a^2+y1y/b^2=1
x2x/a^2+y2y/b^2=1
两式联立,求得交点横坐标
x0=a^2(y1-y2)/(x2y1-x1y2)
因为直线PQ过焦点F(c,0)
所以KPF=KQF
y1/(x1-c)=y2/(x2-c)
交叉相乘得到：
x1y2-cy2=x2y1-cy1
可化为(y1-y2)/(x2y1-x1y2)=1/c
所以x0=a^2/c
得证
补充一下,当PQ垂直x轴时,x1=x2=c, 直接带入x0==a^2(y1-y2)/(x2y1-x1y2)=a^2/c