已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2+2y2=4上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，B关于点M（1，已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2+2y2=4上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，

Question

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2+2y2=4上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，B关于点M（1，
已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C：x²+2y²=4上两点，点M的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）当A，B关于点M（1，0）对称时，求证：x₁=x₂=1；
（Ⅱ）当直线AB经过点（0，3）时，求证：△MAB不可能为等边三角形．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为A，B在椭圆上，
所以

x12+2y12＝4，①

x22+2y22＝4．②

-----------------------------------（1分）
因为A，B关于点M（1，0）对称，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=0，--------------------------------（2分）
将x₂=2-x₁，y₂=-y₁代入②得(2?x1)2+2y12＝4③，
由①和③消y₁解得x₁=1，------------------------------------------（4分）
所以 x₁=x₂=1．------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，A(0，√(2))，B(0，?√(2))，
可得|AB|＝2√(2)，|MA|＝√(3)，△ABM不是等边三角形．-----------------------（6分）
当直线AB存在斜率时，显然斜率不为0．
设直线AB：y=kx+3，AB中点为N（x₀，y₀），
联立

x2+2y2＝4

y＝kx+3

消去y得（1+2k²）x²+12kx+14=0，------------------（7分）
△=144k²-4（1+2k²）?14=32k²-56，
由△＞0，得到k2＞(7)/(4)①-----------------------------------（8分）
又x1+x2＝(?12k)/(1+2k2)，x1?x2＝(14)/(1+2k2)
所以x0＝(?6k)/(1+2k2)，y0＝kx0+3＝(3)/(1+2k2)，
所以 N((?6k)/(1+2k2)，(3)/(1+2k2))-------------------------------------------（10分）
假设△ABM为等边三角形，则有MN⊥AB，
又因为M（1，0），
所以k_MN×k=-1，即((3)/(1+2k2))/((?6k)/(1+2k2)?1)×k＝?1，---------------------（11分）
化简 2k²+3k+1=0，解得k=-1或k＝?(1)/(2)---------------（12分）
这与①式矛盾，所以假设不成立．
因此对于任意k不能使得MN⊥AB，故△ABM不能为等边三角形．------------（14分）