已知椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3分之根号3,直线l:y=x+2已知椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为 3分之根号3,直线l:y=x+2与以原点为圆心,以椭圆c1的短半轴长为圆半径相切.（1）求椭圆

Question

已知椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3分之根号3,直线l:y=x+2
已知椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为  3分之根号3,直线l:y=x+2与以原点为圆心,以椭圆c1的短半轴长为圆半径相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆长轴,动直线l2垂直l1 于点P,线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足向量QR*向量RS=0,求向量QS的模的取值范围.

Answer 1

,∴2a2=3b2,
∵直线l：y=x 2与圆x2 y2=b2相切,
∴
2
2
=b
∴b=
2
∴a=
3
,
∴椭圆方程为
x2
3
y2
2
=1 …（3分）
（II）由|MP|=|NF2|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线,以F2为焦点的抛物线．
∴轨迹C2的方程是y2=4x …（6分）
（III）设R（
y12
4
,y1）,S（
y22
4
,y2）,则
OR
=（
y12
4
,y1）,
OS
=（
y22
4
,y2）,
∴
RS
=（
y22-y12
4
,y2-y1）,
∵
OR
•
RS
=0,∴
y22-y12
4
×
y12
4
y1（y2-y1）=0,
∵y2≠y1,∴y2=-（y1
16
y1
）,
∵y22=（y1
16
y1
）2=y12
256
y12
32≥64,当且仅当y12=
256
y12
,即y1=±4等号成立,…（9分）
∵|
OS
|=
1
4
(y22 8)2-64
,y22≥64,
∴当y22,即y2=±8时,|
OS
|取得最小值8
5
,
∴|
OS
|的取值范围是[8
5
,∞）