已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．

Question

已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x ² +2y ² -8x-8y-1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为______．

Answer 1

圆M：2x ² +2y ² -8x-8y-1=0方程可化为（x-2） ² +（y-2） ² =（ (34)/(2) ） ² ，
设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k _AB = (7-a)/(a-2) ，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k= (5)/(2a-9) ，
直线AC的方程为y-（9-a）= (5)/(2a-9) （x-a）
即5x-（2a-9）y-2a ² +22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即 (|5×2-2(2a-9)-2 a2 +22a-81|)/(25+(2a-9 )2) ≤ (34)/(2) ，
化简得a ² -9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d= (|2-2+5|)/(2) = (52)/(2) ＞ (34)/(2) ，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
故答案为：[3，6]．