已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上的两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A的横坐标取值范围为（）A．[0，3]B．[3，6]C．（0，3]D．（3，6）

Question

已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上的两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A的横坐标取值范围为（　　）

A．[0，3]
B．[3，6]
C．（0，3]
D．（3，6）

Answer 1

圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0方程可化为（x-2）²+（y-2）²=（(√(34))/(2)）²，
设A点的横坐标为a，则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k_AB=(7−a)/(a−2)，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=(5)/(2a−9)，
直线AC的方程为y-（9-a）=(5)/(2a−9)（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即(|10−2(2a−9)−2a2+22a−81|)/(√(25+(2a−9)2))≤(√(34))/(2)，
化简得a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为x-y+5=0，或x+y-9=0
M到x-y+5=0的距离d=(|2−2+5|)/(√(2))=(5√(2))/(2)＞(√(34))/(2)，这样点C不在圆M上，
同理x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
故选B．