已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，直线l：x+y-9=0，过l上一点A作△ABC，使得∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，求点A纵坐标的取值范围．

Question

已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，直线l：x+y-9=0，过l上一点A作△ABC，使得∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，求点A纵坐标的取值范围．

Answer 1

由2x²+2y²-8x-8y-1=0得，圆的标准方程：（x-2）²+（y-2）²=(17)/(2)，
∴圆心M（2，2），半径r＝(√(34))/(2)，
∵直线l：x+y-9=0，∴设A（9-a，a），
∵B，C在圆M上，
∴直线AC和圆M相交或相切，
∴圆心M到AC的距离d≤r，
∵∠BAC=45°，
∴d＝(√(2))/(2)|AM|，
因此(√(2))/(2)|AM|≤r，
即(√(2))/(2)•√((7−a)2+(a−2)2)≤(√(34))/(2)，
化简得，a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6，
故点A的纵坐标的取值范围是[3，6]．