如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M

Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；
（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．

Answer 1

（1）①当0＜t＜3时，如图1，过E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，OC=3，AC=5，
∵MN∥CA，
∴△OEF∽△OCA，
∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，
∴EF=(5)/(3)t，
∵EH⊥CA，
∴∠ECH=∠OCA，
∴sin∠ECH=sin∠OCA，
∴EG：EC=OA：CA，
即EH：（3-t）=4：5，
∴EH=(4)/(5)（3-t），
∴S=(1)/(2)×EF×HE=(1)/(2)×(5)/(3)t×(4)/(5)（3-t）=-(2)/(3)t²+2t；
②当3＜t＜6时，如图2，过C作CH⊥MN于H，则MC=t-3，

∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，
∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t-3）=4：5，
∴CH=(4)/(5)（t-3），
易求直线AC解析式为：y=-(3)/(4)x，
∵MN∥CA，
∴直线MN的解析式为：y=-(3)/(4)x+t，
令y=3，可得3=-(3)/(4)x+t，解得x=(4)/(3)（t-3）=(4)/(3)t-4，
∴E（(4)/(3)t-4，3），
在y=-(3)/(4)x+t中，令x=4可得：y=t-3，∴F（4，t-3），
∴EF=√(((4)/(3)t−4−4)2+(3−t+3)2)=(5)/(3)（6-t），
S=(1)/(2)×EF×GH=(1)/(2)×(5)/(3)（t-3）=-(2)/(3)t²+6t-12；
综上可知S=

−(2)/(3)t2+2t(0＜t＜3)

−(2)/(3)t2+6t−12(3＜t＜6)

；
（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（(4)/(3)t，0），G（2，(3)/(2)），
∴EF²=(25)/(9)t²，EG²=2²+（t-(3)/(2)）²，GF²=（(4)/(3)t-2）²+（(3)/(2)）²，
若EF²+EG²=GF²，则有(25)/(9)t²+2²+（t-(3)/(2)）²=（(4)/(3)t-2）²+（(3)/(2)）²，解得t=0（舍去），t=-(7)/(3)（舍去），
若EF²+FG²=EG²，则有(25)/(9)t²+（(4)/(3)t-2）²+（(3)/(2)）²=2²+（t-(3)/(2)）²，解得t=0（舍去），t=(21)/(32)，
若EG²+GF²=EF²，则有2²+（t-(3)/(2)）²+（(4)/(3)t-2）²+（(3)/(2)）²=(25)/(9)t²，解得t=(3)/(2)，
②当3＜t＜6时，E（(4)/(3)t-4，3），F（4，t-3），G（2，(3)/(2)），
∴EF²=（(4)/(3)t-8）²+（t-6）²，EG²=（(4)/(3)t-6）²+（(3)/(2)）²，GF²=2²+（t-(9)/(2)）²，
若EF²+EG²=GF²，则有（(4)/(3)t-8）²+（t-6）²+（(4)/(3)t-6）²+（(3)/(2)）²=2²+（t-(9)/(2)）²，整理得32t²-363t+1026=0，△=441，解得t=(171)/(32)，t=6（舍去），
若EF²+FG²=EG²，则有（(4)/(3)t-8）²+（t-6）²+2²+（t-(9)/(2)）²=（(4)/(3)t-6）²+（(3)/(2)）²，整理得6t²-79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=(43)/(6)＞6（舍去），
若EG²+GF²=EF²，则有（(4)/(3)t-6）²+（(3)/(2)）²+2²+（t-(9)/(2)）²=（(4)/(3)t-8）²+（t-6）²，解得t=(9)/(2)，
综上可知当△EFG为直角三角形时，t=(21)/(32)或t=(3)/(2)或t=(9)/(2)或t=(171)/(32)；
（3）直线MN为y=-(3)/(4)x+t，G（2，(3)/(2)），
GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=(4)/(3)x-(7)/(6)，在y=(4)/(3)x-(7)/(6)中，
令x=0，可得：y=-(7)/(6)，∴G′（0，-(7)/(6)），GG′中点（1，(1)/(6)），代入直线MN为y=-(3)/(4)x+t，解得t=(11)/(12)，
令y=0，可得：x=(7)/(8)，∴G′（(7)/(8)，0），GG′中点（(23)/(16)，(3)/(4)），代入直线MN为y=-(3)/(4)x+t，解得t=(117)/(64)，
令x=4，可得：y=(25)/(6)，∴G′（4，(25)/(6)），GG′中点（3，(17)/(6)），代入直线MN为y=-(3)/(4)x+t，解得t=(61)/(12)，
令y=3，可得：x=(25)/(8)，∴G′（(25)/(8)，3），GG′中点（(41)/(16)，(9)/(4)），代入直线MN为y=-(3)/(4)x+t，解得t=(267)/(64)，
综上可知满足条件的t的值为(11)/(12)或(117)/(64)或(61)/(12)或(267)/(64)．