三角形边问题已知a,b,c是直角三角形的三边,且满足(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)求证：这个三角形是等边三角形要求步骤清晰,要有一定依据,具体已知a,b,c是三角形的三边,（不是直角三角形,打错了）且

Question

三角形边问题
已知a,b,c是直角三角形的三边,且满足
(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
求证：这个三角形是等边三角形
要求步骤清晰,要有一定依据,具体
已知a,b,c是三角形的三边,（不是直角三角形,打错了）且满足
(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
求证：这个三角形是等边三角形
要求步骤清晰,要有一定依据,具体

Answer 1

初中问题,简单.
证明：由a,b,c为三角形的边可知a>0且b>0且c>0.
∵（a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2c(a+b)=a^2+b^2+2ab+c^2+2ac+2bc
∴3（a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
移项化简得：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
两边同时乘以2可得：2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
可组合为：(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0
即为：(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
∵(a-b)^2≥0,(a-c)^2≥0,(b-c)^2≥0它们三式相加后结果为0
∴(a-b)^2=0且(a-c)^2=0且(b-c)^2=0
∴a-b=0且a-c=0且b-c=0 即为a=b且a=c且b=c
很明显得a=b=c,这个三角形是等边三角形
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