如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点E，点E在对称轴的右侧，对称轴交直线y=x于点C．（1）求该抛物线的解析式和

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点E，点E在对称轴的右侧，对称轴交直线y=x于点C．
（1）求该抛物线的解析式和CE的长；
（2）点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，当△PCM为等边三角形时．
①求点P的坐标；
②连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在点N，使△CMN与△CPE全等？若存在试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，将点A（0，2）代入，得
a（0-2）²+1=2…1分
解这个方程，得a=(1)/(4)，
∴抛物线的表达式为y=(1)/(4)（x-2）²+1=(1)/(4)x²-x+2；将x=2代入y=x得y=2，
∴点C的坐标为（2，2），
∴OC=√(22+22)=2√(2)，
把y=x代入y=(1)/(4)x²-x+2，得：x=(1)/(4)x²-x+2
解得：x₁=4+2√(2)，x₂=4-2√(2)＜2（不合题意，舍去），
将x₁=4+2√(2)代入y=x得y=4+2√(2)，
∴OE=（4+2√(2)）•√(2)=4

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