1.已知抛物线Y^2=-X与直线L：Y=K(X+1)相交于A,B两点,（1）求证：OA垂直OB(2)当△OAB的面积等于√10时,求K的值.2.直线L：Y=KX+1与双曲线C：2X^2-Y^2=1的右支相交于不同的两点A,B求实数K的取值范围.

Question

1.已知抛物线Y^2=-X与直线L：Y=K(X+1)相交于A,B两点,
（1）求证：OA垂直OB
(2)当△OAB的面积等于√10时,求K的值.
2.直线L：Y=KX+1与双曲线C：2X^2-Y^2=1的右支相交于不同的两点A,B 求实数K的取值范围.

Answer 1

解（1）分别设OA,OB的斜率为k1,A(x1,y1),B（x2,y2)
∴k1=y1/xi,k2=y2/x2
解 y²=-x
y=k（x+1) 得k²x+(1+2k²)x+k²＝0
∴x1x2=1,x1+x2=-（1+2k²）/k²
y1y1=k²（x1x2+x1+x2+1）=-1
∴k1k2=y1y2/x1x2=-1
所以OA⊥OB⊥
（2）√（x1²+y1²）√（x2²+y2²）=2√10
∴（x1²+y1²）（x2²+y2²）=40
x1²x2²+x2²y1²+x1y2²+y1²y2²=40
∵x1x2=1,y1y1=-1
∴x2²y1²+x1y2²+2=40
∵y²=-x
∴-x1x2（x1+x2）=38
∴=（1+2k²）/k²=38
解得k=-1/6或1/6