如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，

Question

如图（1），抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]

（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由于点C在抛物线的图象上，则有：k=-3；
∴y=x²-2x-3；
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故填：k=-3，A（-1，0），B（3，0）；
（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM；
则△AOC的面积=(1)/(2)AO•OC=(1)/(2)×1×3=(3)/(2)，
△MOC的面积=(1)/(2)OC•|x_M|=(1)/(2)×3×1=(3)/(2)，
△MOB的面积=(1)/(2)OB•|y_M|=(1)/(2)×3×4=6；
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9；
（3）设D（m，m²-2m-3），连接OD；
则0＜m＜3，m²-2m-3＜0；
且△AOC的面积=(3)/(2)，△DOC的面积=(3)/(2)m，△DOB的面积=-(3)/(2)（m²-2m-3）；
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-(3)/(2)m²+(9)/(2)m+6=-(3)/(2)（m-(3)/(2)）²+(75)/(8)；
∴存在点D（(3)/(2)，-(15)/(4)），使四边形ABDC的面积最大，且最大值为(75)/(8)．