如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B为（2，4），反比例函数y=mx图象经过AB的中点D，且与BC交于点E．（1）求m的值和点

Question

如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B为（2，4），反比例函数y=(m)/(x)图象经过AB的中点D，且与BC交于点E．

（1）求m的值和点E的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=(m)/(x)图象上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC为矩形，点B为（2，4），
∴AB=2，BC=4，
∵D是AB的中点，
∴D（1，4），
∵反比例函数y=(m)/(x)图象经过AB的中点D，
∴4=(m)/(1)，m=4，
∴反比例函数为y=(4)/(x)，
令x=2，则y=2，
∴E的坐标（2，2）；
（2）∵D（1，4），E（2，1），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴

k+b=4

2k+b=2

，解得

k=-2

b=6

，
∴直线DE的解析式为y=-2x+6；

（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
当DE是平行四边形的边时，则PQ∥DE，且PQ=DE，
∴Q的纵坐标为0，
∴P的纵坐标为±2，
令y=2，则2=(4)/(x)，解得x=2，
令y=-2，则-2=(4)/(x)，解得x=-2，
∵E（2，2），
∴P点的坐标为（-2，-2）；
当DE是平行四边形的对角线时，
∵D（1，4），E（2，2），
∴DE的中点为（(3)/(2)，3），
设P（a，(4)/(a)）、Q（x，0），
∴(4)/(a)÷2=3，(a+x)/(2)=(3)/(2)
∴a=(2)/(3)，x=(7)/(3)
∴P（(2)/(3)，6），
故使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形的P点的坐标为（-2，-2）或（(2)/(3)，6）．