直线y=k1x与双曲线y＝k2x交于A、B两点（k1，k2为大于0的常数）．（1）如图1，若点A的坐标为（2，4）①求k1和k2的值；②过A作AP⊥x轴，垂足为P，Q是坐标平面上的点，且以点A、O、P、Q为顶点的

Question

直线y=k₁x与双曲线y＝(k2)/(x)交于A、B两点（k₁，k₂为大于0的常数）．
（1）如图1，若点A的坐标为（2，4）
①求k₁和k₂的值；
②过A作AP⊥x轴，垂足为P，Q是坐标平面上的点，且以点A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；
（2）如图2，若点A的坐标为（a，b），点C（c，d） 是双曲线上的动点，且点C在点A的上方，直线AC与y轴、x轴分别交于D、E两点，直线BC与y轴、x轴分别交于F、G两点．
①求证：∠CGE=∠CEG；
②△ADF的面积能不能为定值？若能，求出此定值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）①∵直线y=k₁x与双曲线y＝(k2)/(x)都经过A（2，4），
∴k₁=(4)/(2)=2，k₂=2×4=8，
②∵AP⊥x轴，以点A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴当OQ∥AP时，如图1，则OQ₁=AP=4，或OQ₂=AP=4，
∴Q₁（0，4），Q₂（0，-4），
当OP∥AQ时，则AQ₃=OP=2，
∴Q₃（4，4），
即满足条件的Q点的坐标为（0，4）、（0，-4）、（4，4）；

（2）①过C作CN∥y轴，过B作BN∥x轴，它们交于N点，过A点作AM∥x轴交CN于M，如图2，B点坐标为（-a，-b），
∴AM∥GE，
∴∠CEG=∠CAM，
在Rt△ACM中，tan∠CAM=(d−b)/(a−c)，
∴tan∠CEG=(d−b)/(a−c)，
∵ab=cd=k₂，即(b)/(c)=(d)/(a)，
∴(b)/(c)=(d)/(a)=(d−b)/(a−c)，
∴tan∠CEG=(b)/(c)，
在Rt△CBN中，tan∠CBN=(d+b)/(a+c)，
∴tan∠CGE=(d+b)/(a+c)，
∵ab=cd，即(b)/(c)=(d)/(a)，
∴(b)/(c)=(d)/(a)=(b+d)/(a+c)，
∴tan∠CGE=(b)/(c)，
∵∠CEG、∠CGE都是锐角，
∴∠CEG=∠CGE；
②△ADF的面积为定值．
过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图3，
则CH∥GE，
∴∠DCH=∠CEG，∠HCF=∠CGE，
而∠CEG=∠CGE，
∴∠DCH=∠HCF
∴△CDF是等腰三角形，
∴DH=HF，
∵tan∠DCH=(DH)/(HC)=tan∠CAG=(b)/(c)，
而HC=c，
∴DH=b，
∴DF=2b，
∴S_△ADF=(1)/(2)•2b•a=k₂，
∴△ADF的面积为定值k₂．