如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x ² -2x-3=0的两根．

（1）求m，n的值．
（2）求抛物线的解析式．
（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD．当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）m=-1，n=3；（2）y=- x ² + x；（3）P ₁ （ ，- ），P ₂ （ ，- ），P ₃ （ ，- ）．

试题分析：（1）解方程即可得出m，n的值．
（2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（3）首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．
试题解析：（1）解方程x ² -2x-3=0，
得 x ₁ =3，x ₂ =-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3．
（2）∵m=-1，n=3，
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax ² +bx（a≠0）．
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=- x ² + x．
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=- x- ．
∴C点坐标为（0，- ）．
∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），
∴直线OB的解析式为y=-x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，-x），
（i）当OC=OP时，x ² +（-x） ² = ．
解得x ₁ = ，x ₂ =- （舍去）．
∴P ₁ （ ，- ）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P ₂ （ ，- ）．
（iii）当OC=PC时，由x ² +（-x+ ） ² = ，
解得x ₁ = ，x ₂ =0（舍去）．
∴P ₃ （ ，- ）．
∴P点坐标为P ₁ （ ，- ），P ₂ （ ，- ），P ₃ （ ，- ）．
考点: 二次函数综合题.