在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是x=cosφy=1+sinφ（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线O

Question

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是

x=cosφ

y=1+sinφ

（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（0<α<(π)/(2)）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+(π)/(2)与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求(|OP|)/(|OM|)•(|OQ|)/(|ON|)的最大值．

Answer 1

（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．
圆C的参数方程是

x=cosφ

y=1+sinφ

（φ为参数），可得普通方程：x²+（y-1）²=1，
展开为x²+y²-2y=0．化为极坐标方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），((6)/(sinα)，α)．
∴|OP|=2sinα，|OM|=(6)/(sinα)，可得(|OP|)/(|OM|)=(sin2α)/(3)．
同理可得：(|OQ|)/(|ON|)=(sin2(α+(π)/(2)))/(3)=(cos2α)/(3)．
∴(|OP|)/(|OM|)•(|OQ|)/(|ON|)=(sin22α)/(36)≤(1)/(36)．当α=(π)/(4)时，取等号．