已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连

Question

已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=(1)/(4)x²上的一个动点．

（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y=(1)/(4)x²的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．

Answer 1

（1）设点P的坐标为（x₀，(1)/(4)x²₀），则
PM=√(x20+((1)/(4)x20−1)2)=(1)/(4)x²₀+1；
又因为点P到直线y=-1的距离为，(1)/(4)x²₀-（-1）=(1)/(4)x²₀+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．
（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是(QM)/(RN)=(MP)/(NH)，
所以(QR)/(RN)＝(PH)/(HN)，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．