在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x2+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴

Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S_△OAB=6．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）
∵S_△OAB=(1)/(2)×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（-3，0）；（2分）
（2）把点B的坐标（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，
得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-(5)/(3)．（4分）
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-(5)/(3)x+4．（5分）
（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）（8分）
③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得√(x2+42)=|x+3|．
解得x=(7)/(6)．
∴点P的坐标为（(7)/(6)，0）（10分）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（-8，0），（(7)/(6)，0）．