已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在点C的左边）.已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在点C的左边）,P为它的顶点.在y

Question

已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在点C的左边）.
已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在点C的左边）,P为它的顶点.在y轴的正半轴上是否存在M,使△PCM为等腰三角形?若存在,求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

二次函数y=1/2x^2-x+m的图像经过点A（-3,6）
得m = -3/2
所以解析式：y = 1/2x^2 - x - 3/2
得：B(-1 ,0) ,C(3 ,0) ,P(1 ,-2)
线段AC的斜率:K(AC)=(0-6)/(3+3) = -1
线段PC的斜率:K(PC)=(0+2)/(3-1)=1
线段PB的斜率:K(PB)=(0+2)/(-1-1)=-1
所以 K(AC)·K(PC) = -1 = K(PC)·K(PA)
即PC⊥AC ,PC⊥PB ,PB//AC
易证 PB = PC
故△BPC是以P为顶点的等腰直角三角形
所以∠PCB=45°=∠ACB
在△ABC中 ,由正弦定理 ,BC/sin∠BAC = AB/sin∠ACB
得：sin∠BAC = 1/√5
所以 （sin∠BAC）^2 = 1/5
设D(t ,0) ,DP^2 = (t -1)^2 + 4 ,CD = 3 -t ,∠PCB = 45°
在△PCD中利用正弦定理可得：（sin∠DPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8]
当∠DPC = ∠BAC时
则（sinBAC）^2 = sinDPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] = 1/5
解方程得：t = 7 或 5/3
因D在OC上 ,故t∈（0 ,3）,
所以 t = 5/3
故D（5/3 ,0）,K(AD) = (6-0)/(-3 - 5/3) = -9/7 ,
所以AD的解析式为y=(9x+15)/7