已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，-1）（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点

Question

已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0， -1）
（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；
（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．

Answer 1

（1）解法一：连接AC
∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC
∴BO=CO
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DE=|3-（-1）|=4，OE=1
∴AO=1，AC= (1)/(2) DE=2
在Rt△AOC中，AC ² =AO ² +OC ²
∴OC=

3

∴C（

3

，0），B（

3

，0）
设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为 y=a(x-

3

)(x+

3

) ，
则-1=a（0-

3

）（0+

3

）
解得a= (1)/(3)
∴y= (1)/(3) （x-

3

）（x+

3

）= (1)/(3) x ² -1（2分）．
解法二：∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC
∴BO=CO
∴OC ² =OD•OE
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DO=3，OE=1
∴OC2=3×1=3
∴OC=

3

∴C（

3

，0），B（-

3

，0）
以下同解法一；

（2）解法一：过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QN⊥y轴于N
∴∠PFA=∠QNA=90°，F点的纵坐标为t
N点的纵坐标为y
∵∠PAF=∠QAN，PA=QA
∴△PFA≌△QNA
∴FA=NA
∵AO=1
∴A（0，1）
∴|t-1|=|1-y|
∵动切线PM经过第一、二、三象限
观察图形可得1＜t＜3，-1＜y＜1．
∴t-1=1-y．
即y=-t+2．
∴y关于t的函数关系式为y=-t+2（1＜t＜3）（5分）
解法二：（i）当经过一、二、三象限的切线PM运动到使得Q点与C点重合时，y=0
连接PB
∵PC是直径
∴∠PBC=90°
∴PB⊥x轴，
∴PB=t．
∵PA=AC，BO=OC，AO=1，
∴PB=2AO=2，
∴t=2．
即t=2时，y=0．
（ii）当经过一、二、三象限的切线
PM运动使得Q点在x轴上方时，y＞0
观察图形可得1＜t＜2
过P作PS⊥x轴于S，过Q作QT⊥x轴于T

则PS ∥ AO ∥ QT
∵点A为线段PQ的中点
∴点O为线段ST的中点
∴AO为梯形QTSP的中位线
∴AO= (QT+PS)/(2)
∴1= (y+t)/(2)
∴y=-t+2．
∴y=-t+2（1＜t＜2）．
（iii）当经过一、二、三象限的切线PM运动使得Q点在x轴下方时，y＜0，观察图形可得2＜t＜3
过P作PS⊥x轴于S，过Q作QT⊥x轴于T，设PQ交x轴于R
则QT ∥ PS
∴△QRT ∽ △PRS
∴ (QT)/(PS) =(QR)/(PR)
设AR=m，则 (-y)/(t) =(2-m)/(2+m) &&（1）
又∵AO⊥x轴，
∴AO ∥ PS
∴△ROA ∽ △RSP
∴ (AO)/(PS) =(RA)/(RP)
∴ (1)/(t) =(m)/(2+m) &&（2）
由（1）、（2）得y=-t+2
∴y=-t+2（2＜t＜3）
综上所述：y与t的函数关系式为y=-t+2（1＜t＜3）（5分）

（3）解法一：当y=0时，Q点与C点重合，连接PB
∵PC为⊙A的直径
∴∠PBC=90°
即PB⊥x轴
∴s=-

3

将y=0代入y=-t+2（1＜t＜3），得0=-t+2
∴t=2∴P（-

3

，2）
设切线PM与y轴交于点I，则AP⊥PI
∴∠API=9 0°
在△API与△AOC中
∵∠API=∠AOC=90°，∠PAI=∠OAC
∴△API ∽ △AOC
∴ (AP)/(AO) =(AI)/(AC)
∴I点坐标为（0，5）
设切线PM的解析式为y=kx+5（k≠0），
∵P点的坐标为 (-

3

，2) ，
∴2=- 3 k+5．
解得k=

3

，
∴切线PM的解析式为y=

3

x+5（7分）
设切线PM与抛物线y= (1)/(3) x ² -1交于G、H两点
由

y=(1)/(3) x 2 -1

y=

3

x+5

可得x ₁ = (33-311)/(2) ， x 2 =(33+311)/(2)
因此，G、H的横坐标分别为 (33-311)/(2) 、(33+311)/(2)
根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是 (33-311)/(2) ＜x＜(33+311)/(2) （9分）
解法二：同（3）解法一
可得P（-

3

，2）
∵直线PM为⊙A的切线，PC为⊙A的直径
∴PC⊥PM
在Rt△CPM与Rt△CBP中
cos∠PCM= (PC)/(CM) =(CB)/(PC)
∵CB=2

3

，PC=4
∴CM= (P C2)/(CB) =(16)/(23) =(83)/(3)
设M点的坐标为（m，0），
则CM=

3

-m= (83)/(3)
∴m=- (53)/(3) ．
即M（- (53)/(3) ，0）．
设切线PM的解析式为y=kx+b（k≠0），
得

0=-(53)/(3)

k+b ² =-

3

k+b．
解得

k=

3

b=5

∴切线PM的解析式为y=

3

x+5（7分）
以下同解法一．