（2014•东丽区一模）如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连接BD，做AE∥x轴，DE∥y轴，（1）当m=2

Question

（2014•东丽区一模）如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）²-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连接BD，做AE∥x轴，DE∥y轴，
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

（1）当m=2时，y=（x-2）²-2，
把x=0代入y=（x-2）²-2，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，-m²+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m²+m）=m²，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴(BF)/(AF)＝(AE)/(DE)，即：(m2)/(|m|)＝(|m|)/(DE)，
∴DE=1．

（3）①∵点A的坐标为（m，-m²+m），
∴点D的坐标为（2m，-m²+m+1），
∴x=2m，y=-m²+m+1，
∴y=-（(x)/(2)）²+(x)/(2)+1，
∴所求函数的解析式为：y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+1，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（-m²+m+1）-m²=-2m²+m+1，
把P（3m，-2m²+m+1）的坐标代入y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+1得：
-2m²+m+1=-(1)/(4)×（3m）²+(1)/(2)×（3m）+1，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=2．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（-m²+m+1）+m²=m+1，
把P（m，m+1）的坐标代入y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+1得：
m+1=-(1)/(4)m²+(1)/(2)m+1，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-2，
综上所述：m的值为2或-2．