如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．（1）求证：CM=EM；（2）如果BC=3，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．

（1）求证：CM=EM；
（2）如果BC=√(3)，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．

Answer 1

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点，
∴CM=(1)/(2)BD．
同理ME=(1)/(2)BD，
∴CM=ME．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=√(3)，
∴AB=2BC=2√(3)．
由勾股定理得AC=3，
∵AD=x，∴CD=3-x，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴BD²=BC²+CD²，
∴BD=√(3+(3−x)2)，
∵CM=(1)/(2)BD，CM=y，
∴y=(√(x2−6x+12))/(2)（0＜x＜3），
（3）不变．
∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．
∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC，
∵M是Rt△BED斜边BD的中点，
同理可得：∠EMD=2∠MBE，
∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC，
即∠CME=2∠ABC=120°，
∵MC=ME，
∴∠MCE=∠MEC=30°．