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在平面直角坐标系中,已知等腰梯形ABCD的三个顶点A(-2,0),B(6,0),C(4,6),对角线AC与BD相交于点E.(1)求E的坐标;(2)若M是x轴上一动点,求MC+MD的最小值;(3)在y轴正半轴上
题目详情
在平面直角坐标系中,已知等腰梯形ABCD的三个顶点A(-2,0),B(6,0),
C(4,6),对角线AC与BD相交于点E.
(1)求E的坐标;
(2)若M是x轴上一动点,求MC+MD的最小值;
(3)在y轴正半轴上求点P,使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形.

(1)求E的坐标;
(2)若M是x轴上一动点,求MC+MD的最小值;
(3)在y轴正半轴上求点P,使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形.
▼优质解答
答案和解析
(1)作EF⊥AB,
∴
=
,
∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴AE=BE,
∴在等腰三角形ABE中,AF=BF,
∵A(-2,0),B(6,0),C(4,6),
∴点D的坐标为(0,6),
∴OD=6,FB=4,OF=2,
∴
=
,
∴EF=4,
∴点E的坐标为(2,4);
(2)由题意可得,
点D关于x轴的对称点D′的坐标为(0,-6),
CD′与x轴的交点为M,
∴此时,MC+MD=CD′为最小值,
∴CD′=
=4
;
(3)设点P(0,y),y>0,
分三种情况,①PC=BC;
∴42+(6-y)2=22+62,
解得,y=6±2
;
②PB=BC;
∴62+y2=22+62,
解得,y=2,y=-2(舍去);
③PB=PC;
∴62+y2=42+(6-y)2,
解得,y=
;
综上,点P的坐标为:(0,6+2
),(0,6-2
),(0,2),(0,
).

∴
BF |
OB |
EF |
OD |
∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴AE=BE,
∴在等腰三角形ABE中,AF=BF,
∵A(-2,0),B(6,0),C(4,6),
∴点D的坐标为(0,6),
∴OD=6,FB=4,OF=2,
∴
4 |
6 |
EF |
6 |
∴EF=4,
∴点E的坐标为(2,4);
(2)由题意可得,
点D关于x轴的对称点D′的坐标为(0,-6),
CD′与x轴的交点为M,
∴此时,MC+MD=CD′为最小值,
∴CD′=
(4)2+(6+6)2 |
10 |
(3)设点P(0,y),y>0,
分三种情况,①PC=BC;
∴42+(6-y)2=22+62,
解得,y=6±2
6 |
②PB=BC;
∴62+y2=22+62,
解得,y=2,y=-2(舍去);
③PB=PC;
∴62+y2=42+(6-y)2,
解得,y=
4 |
3 |
综上,点P的坐标为:(0,6+2
6 |
6 |
4 |
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