已知α1,α2,α3是AX=0的一个基础解系,证明α1+α2,α2+α3,α1+α3也是该方程组的一个基础解系.

Question

已知α1,α2,α3是AX=0的一个基础解系,证明α1+α2,α2+α3,α1+α3也是该方程组的一个基础解系.

Answer 1

易耳.
基础解系定义:就是线性无关的齐次解集.
所以,α1,α2,α3是线性无关的,而且有:
A(α1,α2,α3)=(0,0,0)三个零向量.
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现在看:
1.
α1+α2,α2+α3,α1+α3是不是线性无关啊?
2.
是不是满足A(α1+α2,α2+α3,α1+α3)=(0,0,0)三个零向量?
2就不用说了,显然.
看1:
(α1+α2,α2+α3,α1+α3)=(α1,α2,α3)*X
X表示一个变换,左乘是行变换,右乘是列变换.
X=?的时候,即(α1,α2,α3)经过什么样的列变换才能变成(α1+α2,α2+α3,α1+α3)?
然后你看这个X是不是满秩的?这就行了.