若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两实根，且x12+3x22=3|k|（k为整数），则称方程x2+bx+c=0为“B系二次方程”，如：x2+2x-3=0，x2+2x-15=0，x2+3x-274=0，x2+x-154=0，x2-2x-3=0，x2-2x-15=0等，都是“B系二次方程

Question

若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两实根，且x₁²+3x₂²=3|k|（k为整数），则称方程x²+bx+c=0为“B系二次方程”，如：x²+2x-3=0，x²+2x-15=0，x²+3x-(27)/(4)=0，x²+x-(15)/(4)=0，x²-2x-3=0，x²-2x-15=0等，都是“B系二次方程”．请问：对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”，并说明理由．

Answer 1

存在．
理由：x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”，
∴假设c=mb²+n，
当b=-2，c=-15时，-15=4m+n，
∵x²=0是“B系二次方程”，
∴n=0时，m=-(15)/(4)，
∴c=-(15)/(4)b²，
∵x²+2x-15=0，是“B系二次方程”，
当b=2时，c=-(15)/(4)×2²，
∴可设c=-(15)/(4)b²，
对于任意一个整数b，当c=-(15)/(4)b²时，△=b²-4ac=16b²．
∴x=(-b±4b)/(2)，
即x₁=(3)/(2)b，x₂=-(5)/(2)b，
∴x₁²+3x₂²=(9)/(4)b²+3×(25)/(4)b²=21b²，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，当c=-(15)/(4)b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”．