设矩阵A=(0100,1000,00y1,0012)有一个特征值是3（1）.求y的值；（2）求正交矩阵P,使（AP)^TAP为对角矩阵；（3）判断矩阵A^2是否为正定矩阵,并证明你的结论

Question

设矩阵A=(0 1 0 0,1 0 0 0,0 0 y 1,0 0 1 2)有一个特征值是3
（1）.求y的值；
（2）求正交矩阵P,使（AP)^TAP为对角矩阵；
（3）判断矩阵A^2是否为正定矩阵,并证明你的结论

Answer 1

(1) 因为3是A的特征值,所以 |A-3E|=0
而 |A-3E|=16-8y
所以 y=2
(2) (AP)^TAP=P^TA^TAP=P^TA^2P
A^2=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5 4
0 0 4 5
A^2的特征值为 1,1,1,9
A^2-E=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 4 4
0 0 4 4
(A^2-E)X=0 的基础解系为
a1=(1,0,0,0)^T
a2=(0,1,0,0)^T
a3=(0,0,1,-1)^T
(已正交)
(A^2-9E)X=0 的基础解系为 a4=(0,0,1,1)^T
令P=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1/√2 1/√2
0 0 -1/√2 1/√2
则P为正交矩阵,且 P^TA^2P=diag(1,1,1,9)
P即为所求
(3) A^2是正定矩阵
这是因为A^2的特征值都是正数.