2、设矩阵A=2-1-1,-12-1,-1-12,2、设矩阵A=2-1-1,-12-1,-1-12,求正交矩阵T使T-1AT=T`AT为对角矩阵.（要求写出正交矩阵T和相应的对角矩阵T-1AT=T`AT）

Question

2、设矩阵A= 2 -1 -1 ,-1 2 -1,-1 -1 2,
2、设矩阵A= 2 -1 -1 ,-1 2 -1,-1 -1 2,求正交矩阵T使T-1AT=T`AT为对角矩阵.（要求写出正交矩阵T和相应的对角矩阵T-1AT=T`AT）

Answer 1

|A-λE|=
2-λ -1 -1
-1 2-λ -1
-1 -1 2-λ
c1+c2+c3
r2-r1,r3-r1
行列式化为上三角形
|A-λE|=-λ(3-λ)^2
故A的特征值为 0,3,3
Ax=0 的基础解系为 a1=(1,1,1)^T
单位化为 b1=(1/√3,1/√3,1/√3)^T
(A-3E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T
已正交.单位化为 b2=(1/√2,-1/√2,0)^T,b3=(1/√6,1/√6,-2/√6)^T
令 P = (b1,b2,b3) =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则P为正交矩阵,且 P^-1AP = P^TAP = diag(0,3,3).