当x＞0时，证明：不等式ex＞1+x+12x2成立．

Question

当x＞0时，证明：不等式e^x＞1+x+(1)/(2)x²成立．

Answer 1

证明：令f(x)＝ex−1−x−(1)/(2)x2，
则f'（x）=e^x-1-x，
再令g（x）=f'（x），则g'（x）=e^x-1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，
由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e⁰-1=0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
由x＞0知，f(x)＞f(0)＝e0−1−0−(1)/(2)×02＝0，
即e^x-（1+x+(1)/(2)x²）＞0，
∴e^x＞1+x+(1)/(2)x²，得证．