已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（m+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范围．（参考公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

Question

已知函数f（x）=x³+x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（m+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范围．
（参考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+[（x₁）³-（x₂）³]=（x₁-x₂）[（x₁）²+（x₂）²+x₁x₂+1]=（x₁-x₂）[（x₁+(1)/(2)x₂）²+(3)/(4)x₂²+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜(2)/(3)