高数数列的极限证明lim（根号n+1-根号n)=0n->无穷用定义证明证明证?

Question

高数数列的极限
证明 lim（根号n+1-根号n)=0
n->无穷
用定义证明证明证?

Answer 1

证明：
① 对任意 ε>0 ,
要使 |(√(n+1) -√n) -0| < ε 成立,
只要 |(√(n+1) -√n) -0|=√(n+1)-√n = 1/[√(n+1)+√n]1/ε^2 即可.

② 故存在 N=[1/ε^2] ∈N
③ 当 n>N 时,
n≥N+1=[1/ε^2]+1>1/ε^2
④ 恒有： |(√(n+1) -√n) -0| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (√(n+1) -√n) = 0