曲线y＝ex+e−x2与直线x=0，x=t（t＞0）及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V（t），侧面积为S（t），在x=t处的底面积为F（t）．（Ⅰ）求S(t)V(t)的值；（Ⅱ）

Question

曲线y＝(ex+e−x)/(2)与直线x=0，x=t（t＞0）及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V（t），侧面积为S（t），在x=t处的底面积为F（t）．
（Ⅰ）求(S(t))/(V(t))的值； 
（Ⅱ）计算极限

lim

t→+∞

(S(t))/(F(t))．

Answer 1

解 （Ⅰ）∵S(t)＝2π

∫

t 0

y√(1+y′2)dx
而y＝(ex+e−x)/(2)
∴y′＝(ex−e−x)/(2)
∴S（t）=2π

∫

t 0

((ex+e−x)/(2))√(1+(e2x−2+e−2x)/(4))dx
=2π

∫

t 0

((ex+e−x)/(2))2dx
又V（t）=π

∫

t 0

y2dx＝π

∫

t 0

((ex+e−x)/(2))2dx
∴(S(t))/(V(t))＝2．
（Ⅱ）∵在x=t处的底面积为F（t）=πy2|x＝t＝π((et+e−t)/(2))2，
∴

lim

t→+∞

(S(t))/(F(t))＝

lim

t→+∞

(2π∫t0((ex+e−x)/(2))2dx)/(π((ex+e−x)/(2))2)
=

lim

t→+∞

(2((et+e−t)/(2))2)/(2((et+e−t)/(2))((et−e−t)/(2)))＝

lim

t→+∞

(et+e−t)/(et−e−t)
=

lim

t→+∞

(e2t+1)/(e2t−1)＝1