如图，在几何体P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2．（1）当AD=2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）若PC与AD所成角为45°，求几何体P-ABCD的体积．

Question

如图，在几何体P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2．
（1）当AD=2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若PC与AD所成角为45°，求几何体P-ABCD的体积．

Answer 1

（1）当AD=2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，（2分）
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，（4分）
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC；（6分）

（2）若PC与AD成45°角，AD∥BC，则∠PCB=45°．（8分）
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB
∴BC⊥PB（10分）
∴∠CPB=90°-45°=45°，∴BC＝PB＝2√(2)
∴几何体P-ABCD的体积为(1)/(3)×(2×2√(2))×2＝(8√(2))/(3)．（12分）