已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b>0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m

Question

已知抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b（a≠0，b>0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C₁的解析式；
（3）现将抛物线C₁绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C₂，若抛物线C₂的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C₁上时，求m的值．

Answer 1

（1）∵抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b（a≠0，b>0）经过原点O，
∴0=4a+b，
∴当ax²+4ax+4a+b=0时，则ax²+4ax=0，
解得：x=0或-4，
∴抛物线与x轴另一交点A坐标是（-4，0）；
（2）∵抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b（a≠0，b>0），（如图1）
∴顶点M坐标为（-2，b），
∵△AMO为等腰直角三角形，
∴b=2，
∵抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b过原点，
∴a（0+2）²+2=0，
解得：a=-(1)/(2)，
∴抛物线C₁：y=-(1)/(2)x²-2x；
（3）∵b=1，抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b过原点，（如图2）
∴a=-(1)/(4)，
∴y=-(1)/(4)（x+2）²+1=-(1)/(4)x²-x，
设N（n，-1），又因为点P（m，0），
∴n-m=m+2，
∴n=2m+2
即点N的坐标是（2m+2，-1），
∵顶点N在抛物线C₁上，
∴-1=-(1)/(4)（2m+2+2）²+1，
解得：m=-2+√(2)或-2-√(2)．