如图，OB是矩形OABC的对角线，点B的坐标为（3，6）．D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x轴于点F．（1）点E的坐标为；（2）求直线DE的解析式；（3）若点M是线段DF上的

Question

如图，OB是矩形OABC的对角线，点B的坐标为（3，6）．D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x轴于点F．
（1）点E的坐标为______；
（2）求直线DE的解析式；
（3）若点M是线段DF上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BA，
∴△OEG∽△OBA，
∴(OE)/(OB)＝(OG)/(OA)＝(EG)/(BA)，
又∵OE=2EB，
∴(OE)/(OB)＝(2)/(3)，
∴(2)/(3)=(OG)/(3)＝(EG)/(6)，
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）∵点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则

2k+b＝4

b＝5

，
解得k=-(1)/(2)，b=5，
∴直线DE的解析式为：y=-(1)/(2)x+5；

（3）答：存在
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．
作MP⊥x轴于点P，则MP∥y轴，
∴△MPO∽△FOD
∴(MP)/(OF)＝(PO)/(OD)＝(MO)/(FD)，
又∵当y=0时，-(1)/(2)x+5=0，
解得x=10，
∴F点的坐标为（10，0），
∴OF=10，
在Rt△ODF中，FD=√(OD2+OF2)=√(52+102)=5√(5)，
∴(MP)/(10)＝(PD)/(5)＝(5)/(5√(5))，
∴MP=2√(5)，PD=√(5)，
∴点M的坐标为（-2√(5)，5+√(5)），
∴点N的坐标为（-2√(5)，√(5)），
此时点M在第二象限，不在线段DF上，不符合题意，舍去；

②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．
∵点M在直线y=-(1)/(2)x+5上，
∴设M点坐标为（a，-(1)/(2)a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
∴a²+（-(1)/(2)a+5）²=5²，
解得：a₁=4，a₂=0（舍去），
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（4，8）；

③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=OP=(5)/(2)，
∴-(1)/(2)x_M+5=(5)/(2)，
∴x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，
∴点N的坐标为（-5，(5)/(2)）．
综上所述，x轴上方的点N有两个，分别为N₁（4，8），N₂（-5，(5)/(2)）．