函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log12x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式f（x2-1）＞-2．

Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log (1)/(2)x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x²-1）＞-2．

Answer 1

（Ⅰ）∵当x＞0时，f（x）=log (1)/(2)x，
当x＜0时，则-x＞0，
∴f（-x）=log(1)/(2)(−x)，
∵函数是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
∴f（x）=log(1)/(2)(−x)，x＜0
又f（0）=0，
∴f（x）=

log(1)/(2)x，x＞0

0，x＝0

log(1)/(2)(−x)，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（4）=log(1)/(2)4＝−2，函数f（x）是偶函数，
∴不等式转化为f（|x²-1|）＞f（4）
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴|x²-1|＜4，
解得：−√(5)＜x＜√(5)．
∴不等式的解集为（−√(5)，√(5)）．