已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义an是函数f（x）的值域中的元素个数，数列{an}的前n项和为Sn，则满足anSn＜500的最大正整数n=

Question

已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义a_n是函数f（x）的值域中的元素个数，数列{a_n}的前n项和为S_n，则满足a_nS_n＜500的最大正整数n=______．

Answer 1

∵函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，则x[x]=nx
∴函数f（x）的值域中的元素个数是n
∴a_n=n，S_n=(n(n+1))/(2)
∴a_nS_n=(n2(n+1))/(2)＜500
令g（n）=(n2(n+1))/(2)，则g'（n）=(3n2+2n)/(2)＞0
而g（9）=405＜500，g（10）=550＞500
∴满足a_nS_n＜500的最大正整数n=9
故答案为：9