求f(x)=根号(2x+4)+根号(6-x)最值

Question

求f(x)=根号(2x+4)+根号(6-x)最值

Answer 1

f(x)=√(2x+4)＋√(6－x)的最值.
因为√(2x+4)>=0,√(6－x)>=0 f(x)最小值为0
函数的定义域为[-2,6] ,
f(x)=√(2x+4)＋√(6－x)=√2*√(x+2)＋1*√(6－x)
≤√(√2^2＋1^2)×√{ [√(x+2)] ^2 ＋ [√(6－x)] ^2 }＝√3×√8＝2√6
（等号当且仅当√2*√(x+2)＝√(6－x),2x+4=6-x,x=2/3取得）
f(x)最大值是2√6
根据柯西不等式的三角形式
√(a＋b)＋√(c＋d)≥√[(a-c)＋(b-d)]
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示平方根,
√(a＋b)＋√(c＋d)≥√[(a-c)＋(b-d)]
例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值.(注：“√”表示平方根)
函数的定义域为[5,9],y＞0
y=3√(x－5)＋4√(9－x)≤√(3^2＋4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 ＋ [√(9－x)] ^2 }＝5×2＝10
函数仅在4√(x－5)＝3√(9－x),即x＝6.44时取到.