（1）函数f(x)=根号（xˆ4-3xˆ2-6x+13)－根号（xˆ4-xˆ2+1)的最大值（2）设f(x)=ax+1/a(1-x)(a＞0),求f(x)在0≤x≤1时的最小值g(a)

Question

（1）函数f(x)=根号（xˆ4-3xˆ2-6x+13)－根号（xˆ4-xˆ2+1)的最大值
（2）设f(x)=ax+1/a(1-x)(a＞0),求f(x)在0≤x≤1时的最小值g(a)

Answer 1

(1)
先将根号下的式子,配方
得
f(x)=[(x^2-2)^2+(x-3)^2]^1/2-[(x^2-1)^2+(x-0)^2]
先根据平面直角坐标系中的
两点距离公式
l=[(y2-y1)^+(x2-x1)^2]^1/2 (这公式里的1和2都是脚标)
联想f(x)函数值表示的是两个线段的长度差
从而设函数
g(x)=x^2
那么函数g(x)上的任意一点为(x,x^2)
那么原函数f(x)的函数值可以看成是
点A(3,2)与函数g(x)上一点之间的长度,减去,点B(0,1)与函数g(x)上一点之间的长度.
画出图像
且由图像知当上述的两个线段组成一条直线时(即点A(0,1)到点B(3,2)的连线)
(因为此时直线AB与g(x)图像有两个交点,另点A左边的点为C,AB之间的点为D,取点C时最大值为CA-CB=BA,(因为如果g(x)上的一点C'与A,B点构成三角形,则有两边只差小于第三边,即C'A-C'B0（对f(x)求导）
所以：f(x)在[0,1]上递增
所以：当x=1时,f(x)取得最大值2.
（2）要想f(x)取得最大值
f(x)'>=0,即f(x)在[0,1]上要递增才能得到最大值
所以：f(x)'=[ax+(1-x)/a]'=a-1/a=(a^2-1)/a>=0
又因为：a>0
所以：a^2-1>=0
解得：a=1
又因为a>0
所以：a>=1
即：当f(x)在[0,1]上递增才能得到最大值：f(1)=a+ (1-1)/a=a
即：g(x)=f(1)=x (x>=1)