x(10-x)sin(nπx/10)在0到10对X进行积分?求步骤1/5000∫x(10-x)sin(nπx/10)dx在0到10积分书上例题结果是2(1-cosnπ)/(5n^3π^3)我怎么算都不是这个，有没有更简单一点的办法。积分学的不好还请各位大大帮帮

Question

x(10-x)sin(nπx/10)在0到10对X进行积分?求步骤
1/5000∫x(10-x)sin(nπx/10)dx在0到10积分书上例题结果是2(1-cosnπ)/(5n^3π^3)我怎么算都不是这个，有没有更简单一点的办法。积分学的不好还请各位大大帮帮忙

Answer 1

分部积分.分部积分可以将 x^n 型因式降为常数,使原式成为简单的三角函数.
∫ x(10-x)sin(nπx/10) dx
= -10/nπcos(nπx/10)x(10-x) + ∫ 10/nπcos(nπx/10)(10-2x) dx
= -10/nπcos(nπx/10)x(10-x) + (10/nπ)^2 sin(nπx/10)(10-2x) - ∫ (10/nπ)^2 sin(nπx/10)(-2) dx
= -10/nπcos(nπx/10)x(10-x) + (10/nπ)^2 sin(nπx/10)(10-2x) - 2(10/nπ)^3 cos(nπx/10) + C
将 x=10 代入,得 (-1)^(n+1) * 2(10/nπ)^3 ,
将 x=0 代入,得 -2(10/nπ)^3
故此定积分为 [ (-1)^(n+1) +1 ] * 2(10/nπ)^3 .
PS：
只能这么算,没有其他简单的办法.积分只能是这么复杂的…………
这个答案不就是你给的那个答案么……
只不过他用 (1-cosnπ) 代替了我的 [ (-1)^(n+1) +1 ] 而已.
你再看看书上的分部积分吧.