方程cos5x=cos3x在区间[0,4π]内所有解的和是

Question

方程cos5x=cos3x在区间[0,4π]内所有解的和是_________________

Answer 1

原方程等价于
cos 5x -cos 3x =0,
即 -2 sin 4x sin x =0.
所以 sin 4x =0,
或 sin x =0.
(1) 若 sin 4x =0,
因为 4x ∈[ 0,16π ],
所以 4x =kπ,k=0,1,2,...,16.
所以 x =kπ/4,k =0,1,2,...,16.
(2) 若 sin x =0,
因为 x∈[ 0,4π ],
所以 x=mπ,m=1,2,3,4.
综上,原方程在区间 [ 0,4π ] 的所有解为
x =kπ/4,k =0,1,2,...,16.
这些解的和为
(0 +4π) *17 /2 =34π.
= = = = = = = = =
和差化积：
cos x -cos y = -2 sin [ (x+y)/2 ] sin [ (x-y)/2 ].
注意前面的负号.
解 cos mx =cos nx 和sin mx =sin nx 这种类型的,
都可用这种方法.