如图,四边形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB为⊙O的直径.（1）若AD=2,AB=BC=8,连接OC、OD．①求△COD的面积；②试判断直线CD与⊙O的位置关系,说明理由．（2）若直线CD与⊙O相切于F,AD=x（x＞0）,AB=8．

Question

如图,四边形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB为⊙O的直径.
（1）若AD=2,AB=BC=8,连接OC、OD．
①求△COD的面积；
②试判断直线CD与⊙O的位置关系,说明理由．
（2）若直线CD与⊙O相切于F,AD=x（x＞0）,AB=8．试用x表示四边形ABCD的面积S

Answer 1

（1）若AD=2,AB=BC=8,连接OC、OD．
①求△COD的面积；
∵AD‖BC,∠ABC=∠BAD=90°
∴四边形ABCD是梯形
梯形面积=（AD+BC）*AB/2=40
∵AB为⊙O的直径
∴S△AOD=OA*AD/2=AB*AD/4=4
∴S△BOC=OB*BC/2=AB*BC/4=16
∴S△COD=梯形面积-S△AOD-S△BOC=20
②试判断直线CD与⊙O的位置关系,说明理由.
过O作OE⊥CD交于点E,则有S△COD=OE*CD/2
∵AD‖BC,∠ABC=∠BAD=90°,AD=2,AB=BC=8
∴CD=√[AB²+（BC-AD）²]=10
∴OE=2S△COD/CD=4=AB/2
直线CD与⊙O的位置关系为相切.
（2）若直线CD与⊙O相切于F,AD=x（x＞0）,AB=8．试用x表示四边形ABCD的面积S
∵AD‖BC,∠ABC=∠BAD=90°
∴四边形ABCD是梯形,CD=√[AB²+（BC-AD）²]
∵直线CD与⊙O相切于F,
∴△OAD≌△OFD,△OBC≌△OFC
∴AD=DF,BC=CF,CD=CF+DF=AD+BC
∵AD=x（x＞0）,AB=8,CD=√[AB²+（BC-AD）²]
∴BC=16/x
四边形ABCD的面积S=（AD+BC）*AB/2=4x+64/x