如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，点G在BC边上，且∠1=∠2．（1）若AD=4，求BG的长；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3=∠2．求证：CD=BF+DF．

Question

如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，点G在BC边上，且∠1=∠2．

（1）若AD=4，求BG的长；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3=∠2．求证：CD=BF+DF．

Answer 1

（1） ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
在△AEB和△CDG中，

∠A=∠C

AB=CD

∠1=∠2

，
∴△AEB≌△CDG，
∴AE=CG，
∵G为BC中点，
∴CG=(1)/(2)BC，
∴AE=(1)/(2)BC，
∵AD=BC，
∴AE=(1)/(2)AD，
∴E是AD的中点，
∴DE=BG=(1)/(2)AD=2，
（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，
∵E为AD的中点，G为BC的中点，
∴DE=(1)/(2)AD，BG=(1)/(2)BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，
∴∠H=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠H=∠3，
∴BF=HF，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠1，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEH中，

∠1=∠H

∠AEB=∠DEG

AE=DE

，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，
∵AB=CD，
∴CD=DH，
∵DH=HF+FD，HF=BF，
∴DH=BF+FD，
∴CD=BF+FD．