如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=3．点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上（A′点和B点不重合）．设∠AMN=θ．（Ⅰ）

Question

如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=√(3)．点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上（A′点和B点不重合）．设∠AMN=θ．
（Ⅰ）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（Ⅱ）求线段A′N长度的最小值．

Answer 1

（I）易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，
则∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-（180°-2θ）=2θ-90°，
设MA=MA′=x，则MB=1-x，
在Rt△MBA′中，sin（2θ-90°）=-cos2θ=(1−x)/(x)，
∴MA=x=(1)/(1−cos2θ)=(1)/(2sin2θ)，
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，
∴45°＜θ＜90°；
（II）在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=(2π)/(3)-θ
∴根据正弦定理得：(AN)/(sinθ)＝(MA)/(sin((2π)/(3)−θ))，
∴AN=(1)/(2sinθsin((2π)/(3)−θ))
令t=2sinθsin（120°-θ）=2sinθ（(1)/(2)sinθ+(√(3))/(2)cosθ）
=sin²θ+√(3)sinθcosθ=(1)/(2)+(√(3))/(2)sin2θ-(1)/(2)cos2θ=(1)/(2)+sin（2θ-30°），
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，
当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值(3)/(2)，
则θ=60°时，AN有最小值为(2)/(3)，即线段A′N长度的最小值为(2)/(3)．