如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=43，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为．

Question

如图，在△ABC中，AB=BC=4，S_△ABC=4 √(3)，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为___．

Answer 1

如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵AB=CB=4，S_△ABC=4√(3)，
∴AH=2√(3)，
∴cos∠HAB=(AH)/(AB)=(2√(3))/(4)=(√(3))/(2)，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作点P关于直线AC的对称点P′，
过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四边形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2√(3)，
即PK+QK的最小值为2√(3)．
故答案为：2√(3)．